кући / наука / математика / Како решити диференцијалне линеарне једначине

Како решити диференцијалне једначине линеарне

/
73 виевс

Како решити диференцијалне једначине линеарне</а>

Диференцијална једначина у којој непозната функција и његов дериват обухвата линеарне, тј први степен, назван линеарни диференцијална једначина првог реда.

упутство

    1

Општи облик линеарне диференцијалне једначине првог реда је следећи:

и? + п (к) * и = ф (к),

где је и непозната функција, а п (к) и ф (к) -неке дате функције. Они се сматрају континуираним у региону у којем је потребно интегрисати једначину. Конкретно, они могу бити константе.

    2

Ако ф (к)? 0, онда се каже да је једначина хомогена, ако не, онда је, респективно, нехомогена.

    3

Линеарна хомогена једначина може се решити методом одвајања варијабли. Општи облик: и? + п (к) * и = 0, стога:

ди / дк = -п (к) * и, што значи да је ди / и = -п (к) дк.

    4

Интегрирајући обе стране резултирајуће једнакости добијамо:

(к) дк (к) дк, тј. лн (и) = -п (к) дк + лн (Ц) или и = Ц * е ^ (-п (к) дк) ).

    5

Решење нехомогене линеарне једначине може битипроизлазе из раствора одговарајуће хомогене, односно исте једначине са одбаченом десном страном ф (к). Да би то учинили, ми морамо замијенити константу Ц у рјешењу хомогене једначине непознатом функцијом ф (к). Тада ће се решење нехомогене једначине представити у облику:

? И = (к) * е ^ (-? П (к) дк)).

    6

Диференцирајући овај израз, добијамо да је дериват и једнак:

и? =? (к) * е ^ (-? п (к) дк) -? (к) * п (к) * е ^ (-? п (к) дк).

Замењујући проналаске за и и и? у почетну једначину и поједностављујући резултат, лако је стићи до резултата:

д? / дк = ф (к) * е ^ (? п (к) дк).

    7

Након интеграције обе стране једначине, постаје:

? (к) =? (ф (к) * е ^ (? п (к) дк)) дк + Ц1.

Дакле, жељена функција и је изражена као:

и = е ^ (-? п (к) дк) * (Ц +? ф (к) * е ^ (? п (к) дк)) дк).

    8

Ако изједначимо константу Ц са нулом, онда из израза за и можемо добити одређено рјешење дате једначине:

и1 = (е ^ (-? п (к) дк)) * (? ф (к) * е ^ (? п (к) дк)) дк).

Потом се комплетно решење може изразити у облику:

и = и1 + Ц * е ^ (-? п (к) дк)).

    9

Другим речима, комплетно решење линеарненехомогена диференцијална једначина првог реда једнака је збиру њеног конкретног рјешења и опћег рјешења одговарајуће хомогене линеарне једначине првог реда.

Како решити диференцијалне једначине линеарне То је последњи пут: 21. јун 2017 по васхуорм
То је главна унутрашња посуда подножје текста